第76回 午前 問48
フーリエ変換は、式 F(u)＝∫[−∞→∞] f(x) e^(−i2πux) dx で表される。この式の核関数である e^(−i2πux) は Euler〈オイラー〉の公式を用いるとどのように書けるか。ただし、u：空間周波数、x：位置、f(x)：空間関数、F(u)：f(x)のフーリエ変換、i：虚数単位とする。
- 1cos(2πux) + sin(2πux)
- 2cos(2πux) − sin(2πux)
- 3cos(2πux) + i sin(2πux)
- 4cos(2πux) − i sin(2πux)
- 5cos(−2πux) − i sin(−2πux)
正答: 4
フーリエ変換の核関数 e^(−i2πux) は、オイラーの公式 e^(iθ)＝cosθ＋i sinθ に θ＝−2πux を代入して展開する。cos は偶関数、sin は奇関数なので cos(−2πux)＝cos(2πux)、sin(−2πux)＝−sin(2πux) となり、e^(−i2πux)＝cos(2πux)−i sin(2πux) と書ける。したがって選択肢4が正しい。
- × cos(2πux)＋i sin(2πux) は e^(＋i2πux) の展開であり、符号が逆で核関数と一致しない。
- × 実部の符号や虚数単位 i の有無など、cos(2πux)−i sin(2πux) の正しい形と一致しない表記である。
- × cos(2πux)＋i sin(2πux) 型で、指数の符号が＋の場合に相当し、e^(−i2πux) の展開ではない。
- ○ cos(2πux)−i sin(2πux) はオイラーの公式に θ＝−2πux を代入した正しい展開で、これが正答である。
- × cos(−2πux)−i sin(−2πux) は整理すると cos(2πux)＋i sin(2πux) となり e^(＋i2πux) に等しく、核関数とは符号が逆になる。
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